ANSI/TIA/EIA-568-B Estándar de cableado de telecomunicaciones en edificios comerciales

 

• ÁREAS DE CURVAS PLANAS- COORDENADAS POLARES 

Consideremos la curva en coordenadas polares dada por la función,donde  es r=r(θ) una función continua. La región cuya área queremos calcular es la que se muestra sombreada en la siguiente figura, está limitada por la curva y las semirrectas de ecuaciones      θ =α y  θ =β.

Para obtener una expresión de esta área tomemos una partición  del intervalo [α, β ] y en cada subintervalo genérico elegimos un punto arbitrario 
Entonces el área encerrada por la curva y los rayos θ =α y θ = β se puede aproximar por la suma

donde hemos dibujado la curva y uno de estos sectores circulares. De forma que al aumentar el número de puntos de la partición, esta suma tiende al área de la región limitada por la curva  r = r (θ)  y los rayos θ =α y . θ = β Cada subintervalo genérico determina un sector circular . El área de este sector circular1 está dada por :

 

EJEMPLO. Calculemos ahora el área que encierra la cardioide de ecuación r = −1 cos θ Sabemos que la fórmula para el cálculo del área es :

Para calcular el área de una región como la de la siguiente figura

. 

Como en el caso de un triángulo, el área de una sector circular de longitud de arco s y radio r es o equivalentemente, si θ es el ángulo del sector circular, con lo que s = rθ , entonces el área del sector circular es 

comprendida entre dos curvas de ecuaciones polares  entre los rayos de ecuaciones     θ =α y , θ = β simplemente restamos las áreas que encierran cada una de ellas en este sector. Entonces obtenemos la siguiente definición. 

EJEMPLO. Vamos a calcular el área encerrada por la circunferencia de ecuación polar r =1 que se encuentra fuera de la cardioide de ecuación polar r =1 -cos θ En primer lugar dibujamos la región para determinar los límites de integración. 

Observa que la curva exterior es 1 r = mientras que la curva interior es r =1 cos . − θ La variable θ recorre el intervalo  Entonces el área es 

• • TEOREMA DE L´ HOPITAL

 Primera regla de l’Hôpital 

Empezamos trabajando con una indeterminación del tipo [0/0]. Como ya hemos venido haciendo, al hablar de un intervalo, lo suponemos no vacío y no reducido a un punto.

Entonces se tiene que g(x) 6≠ 0 para todo x ∈ I \ {a}, con lo que las funciones f /g y f '/g' están definidas en I \ {a} y se verifica que:

Si f '/g' diverge positivamente, diverge negativamente, o simplemente diverge, en el punto a, lo mismo le ocurre a f /g.

Demostración. Observemos para empezar que la hipótesis (c) nos permite extender las funciones f y g, definiendo f(a) = g(a) = 0, para obtener funciones continuas en el punto a. Podemos seguir denotando por f y g a las extensiones así obtenidas, pues el carácter local del concepto de derivada hace que se sigan verificando las hipótesis (a) y (b), y la tesis que se busca no involucra para nada los valores que hemos dado a nuestras funciones en el punto a. En resumen, podemos suponer que f,g : I → R son funciones continuas en I con f(a) = g(a) = 0, y derivables en I \ {a} con g 0 (x) 6≠0 para todo x ∈ I \ {a}.

Para obtener la primera afirmación del teorema, sea x ∈ I \ {a}. Si a < x , puesto que g es continua en el intervalo [a,x] ⊂ I y derivable en ]a,x[⊂ I \ {a}, el Teorema del Valor Medio nos proporciona un c ∈]a,x[ verificando que g(x) = g(x)−g(a) = g ' (c)(x−a), pero por hipótesis tenemos g 0 (c) 6≠ 0, luego g(x) 6≠ 0. Si x < a, razonando con el intervalo [x,a] llegamos a la misma conclusión. De nuevo para x ∈ I con a < x , las funciones f y g son continuas en [a,x] y derivables en ]a,x[, luego por el Teorema del Valor Medio Generalizado existe cx ∈]a,x[ tal que

 En el caso x < a haríamos el mismo razonamiento con el intervalo [x,a] obteniendo la misma conclusión, sólo que ahora cx ∈]x,a[. En ambos casos tenemos 0 < |cx −a| < |x−a| y hemos probado:

 El resto de la demostración es ya bastante inmedia

Dado ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que

Entonces, para x ∈ I con 0 < |x−a| < δ, al aplicar(2) tenemos 0 < |cx−a| < δ, luego podemos usar (3) con y = cx , para obtener

Si f ' /g ' diverge positivamente en a, dado K ∈ R tenemos δ > 0 tal que

Para x ∈ I con 0 < |x−a| < δ, aplicando (2) y (3 0 ) concluimos que

Si f 0/g 0 diverge negativamente en a, basta aplicar lo anterior, cambiando f por −f . Finalmente, si sólo sabemos que f '/g ' diverge en a, dado K ∈ R tenemos δ > 0 tal que

con lo que al aplicar (2) y (3 00) obtenemos

lo que prueba que f /g también diverge en el punto a.

Como ejemplo sencillo de aplicación de la regla anterior, veamos el comportamiento en 0 de la función h : R ∗ → R definida por

Para ello tomamos I = R, a = 0, f(x) = e^ x−1−x y g(x) = x^ 2 para todo x ∈ R ∗ . Claramente f y g son derivables en R ∗ con f 0 (x) = e x −1 y g 0 (x) = 2x 6= 0 para todo x ∈ R ∗ . También es claro que         lım x→0 f(x) = lım x→0 g(x) = 0. Aplicando la derivabilidad en 0 de la función exponencial tenemos

y la regla de l’Hôpital nos dice que también

Volviendo al caso general, conviene observar que el cociente f 0/g 0 , cuyo comportamiento se debe estudiar para poder aplicar la regla de l’Hôpital, puede cumplir también las hipótesis de dicha regla, lo que permite aplicarla reiteradamente. Por ejemplo, usándola dos veces tenemos

Es importante resaltar que la implicaciones de la regla de l’Hôpital no son reversibles: para funciones f,g : I \ {a} verificando las hipótesis (a), (b) y (c) de dicha regla, puede ocurrir que el cociente f /g tenga límite en el punto a pero el cociente f 0/g 0 no lo tenga. Más adelante veremos algún ejemplo de esta situación.

Ni que decir tiene, la regla de l’Hôpital puede aplicarse al cálculo de límites laterales o divergencia lateral de una función en un punto, pues se trata de los límites ordinarios o la divergencia ordinaria en dicho punto de una conveniente restricción de la función dada. Por sorprendente que pueda parecer, la regla de l’Hôpital puede usarse para estudiar la derivabilidad de una función en un punto, pues al fin y al cabo se trata de estudiar la existencia del límite de un cociente entre dos funciones para el que, si la función es continua en el punto en cuestión, tendremos una indeterminación del tipo [0/0]. Veamos la forma en que se concreta esta idea:

Sea J un intervalo, a ∈ J y h : J → R una función derivable en J \ {a} y continua en el punto a.

Si h0 tiene límite en a, entonces h es derivable en a con h0 (a) = l´ım x→a h 0 (x). 

Si h0 diverge en a, entonces h no es derivable en a. 

Suponiendo que a ∈ J ◦ , si h0 tiene límite por la izquierda y por la derecha en a pero                            lım x→a− h 0 (x) 6= lım x→a+ h 0 (x), entonces h no es derivable en a. 

Por tanto, si h es derivable en J , la función derivada h0 no puede tener discontinuidades evitables ni de salto.

Segunda regla de l’Hôpital

Esta segunda versión se aplica a indeterminaciones del tipo [∞/∞]:

Sea I un intervalo, a ∈ I y f,g : I \ {a} → R funciones verificando:

f y g son derivables en I \ {a} 

g' (x) ≠ 0 para todo x ∈ I \ {a}

g diverge en el punto a

Entonces existe ρ > 0 tal que, para x ∈ I con 0 < |x−a| < ρ, se tiene g(x) ≠ 0. Además, se verifica que:

Si f '/g ' diverge positivamente, diverge negativamente, o simplemente diverge, en el punto a, lo mismo le ocurre a f /g. 

Se tiene la indeterminación 

Aplicamos la regla de L'Hôspital

Si comparamos infinitos para  observamos que el numerador es un infinito de orden inferior al denominador, por tanto el límite es 0.

 Así el resultado es

 

BIBLIOGRAFIA 

http://www.matematicaaplicada2.es/data/pdf/1322229361_2115142410.pdf

https://www.ugr.es/~camilo/calculo-ii-grado-en-matemat/apuntes/tema-7.pdf